降维分析系列第7讲：为什么要旋转？旋转到底改变了什么？
本讲是“降维分析系列”的最后一篇，我们用一个经常被忽略的问题来收尾：
为什么因子分析要旋转？旋转到底改变了什么？
在做因子分析时，软件通常都会有一个步骤叫做 “旋转（Rotation）”。
例如在 SPSS 中，可以选择 Varimax、Quartimax 或 Oblimin 等不同的旋转方式。很多教材往往只是简单说一句：“旋转之后结构会更清晰。”
但不少初学者看到这里都会产生两个疑问：
既然已经提取出了因子，为什么还要再旋转一次？旋转到底改变了什么？
要理解这一点，需要先弄清楚因子分析输出结果中另一个经常让人困惑的词：载荷（loading）。
01载荷到底是什么意思
在因子分析的输出结果中，每个变量都会对应一组数字，这些数字就是变量在不同因子上的载荷。简单来说，载荷反映的是某个变量与某个因子的关联程度。载荷越高，说明这个变量与该因子的关系越强。
例如，在学生成绩的数据中，如果数学、物理、化学在同一个因子上的载荷都比较高，就说明这些科目的变化在统计上比较一致，它们可能反映的是某种相似的能力结构。反过来说，如果某个变量在某个因子上的载荷接近于零，就说明这个变量与该因子的关系较弱。
从直观上看，载荷有点类似于一种“相关程度”。只不过这里相关的对象不是两个变量，而是变量与潜在因子之间的关系。
02为什么不旋转的结果往往不好解释
如果不进行旋转，得到的载荷矩阵往往比较难解释。
在很多数据中，一个变量可能在多个因子上都有较高的载荷。例如某个变量在因子1上的载荷是0.52，在因子2上是0.48。从统计角度看，这样的结果完全没有问题，但从解释角度看就会比较尴尬：这个变量到底更属于哪一个因子？
在这种情况下，每个因子看起来都包含很多变量，但又没有特别突出的特征，整体结构会显得比较模糊。虽然数学上的因子提取已经完成，但研究者仍然很难给这些因子赋予清晰的含义。
这时就需要通过旋转来调整因子的结构。
03旋转到底改变了什么
所谓“旋转”，并不是重新估计模型，也不是改变原始数据，而是对因子的方向进行一次重新调整。可以把它理解为换一个角度来看同一组数据。
一个比较形象的比喻是：假设桌子上摆着一堆点，我们给它画两条坐标轴。如果把坐标轴稍微转动一下，点本身的位置不会改变，但它们在坐标轴上的投影会发生变化。旋转所做的事情，其实就是类似这样的调整。
因此，旋转不会改变数据中的信息，也不会改变因子分析能够解释的总方差大小。它改变的只是因子的方向，从而让变量在不同因子上的分布更加集中。
04旋转之后为什么更容易解释
经过旋转之后，载荷矩阵通常会呈现出一种更加清晰的结构：某些变量在某一个因子上的载荷明显较高，而在其他因子上的载荷则较低。
例如，在学生成绩的数据中，旋转之后可能会出现这样的情况：数学、物理、化学在因子1上的载荷较高，而语文、历史、政治在因子2上的载荷较高。这样一来，研究者就很容易把两个因子分别理解为“理科能力”和“文科能力”。
需要注意的是，这种结构并不是旋转“创造”出来的，而是原本就存在于数据中的模式，只是在未旋转的情况下不够明显。旋转所做的，只是让这种结构更加容易被看出来。
05常见的旋转方法
在软件中，最常见的旋转方式是 Varimax。它属于一种正交旋转，也就是说旋转之后各个因子仍然保持相互独立。在很多应用研究中，这种方法已经足够使用，因为结构清晰，也比较容易解释。
另一类方法是斜交旋转，例如 Oblimin。斜交旋转允许因子之间存在相关关系。在一些研究领域，例如心理能力或社会态度分析中，不同维度往往并不是完全独立的，因此有时会采用这种方法。
不过在多数应用型研究中，研究者通常会先使用 Varimax 旋转，因为得到的结构更清晰，也更容易解释。
06旋转只是为了让结果“更好看”吗
有时候会听到一种说法：旋转只是为了让结果“更好看”。这种说法其实并不准确。
旋转并不会增加新的信息，也不会提高模型的解释能力。它只是改变了观察数据结构的方式，让变量与因子的关系更加集中，从而更容易进行解释。
换句话说，旋转改变的是表达方式，而不是数据本身。
07一个例子：学生成绩数据中的因子旋转
为了更直观地理解“旋转”的作用，我们仍然用前两讲的例子：一组学生成绩的数据。数据包含8门课程成绩：政治（poli）、语文（chi）、数学（math）、外语（fore）、物理（phy）、化学（che）、地理（geo）和历史（his）。
本例的因子提取方法为 主轴因式分解（Principal Axis Factoring）。
以下是因子分析的一般顺序，即“确定数量 → 看结构 → 再解释旋转”：
（1）碎石图（确定因子数量）
除了根据特征值大于 1 的标准确定因子数量之外，还可以通过 碎石图（Scree Plot） 来辅助判断。
碎石图将各个因子的 特征值 按顺序画成折线图。从图中可以看到，第1个因子的特征值明显较高，而从第2个因子开始曲线明显变缓，之后基本呈现平缓下降的趋势。
通常认为，在曲线由陡变缓的位置之前的因子具有主要解释作用。因此在本例中，保留 2 个因子 是比较合理的选择。
（2）总方差解释表
首先对这8个变量进行因子分析。根据特征值大于1的标准，最终提取出 2 个因子。SPSS 输出的“总方差解释”表如图所示。
从结果可以看到：
- 第1个因子的特征值为 4.278，解释了 53.47% 的总方差
- 第2个因子的特征值为 1.119，解释了 13.99% 的总方差
两个因子累计可以解释 67.46% 的总体变异。
这说明，用两个因子来概括这8门课程的成绩结构，在统计上是比较合理的。
（3）未旋转的因子矩阵
提取因子之后，SPSS 会给出一个 因子矩阵，即各变量在不同因子上的载荷。
从未旋转的结果可以看到：
- 数学、物理、化学在 因子1 上的载荷较高
- 语文、历史、政治等科目在 因子2 上也有一定载荷
但整体结构仍然比较模糊。例如：
- 数学在因子1上的载荷为 0.803，但在因子2上仍然有 -0.362
- 物理在因子1上的载荷为 0.770，在因子2上也有一定负载
也就是说，很多变量在两个因子上都有一定载荷。这种情况下，很难直接判断每个因子究竟代表什么含义。
这正是未旋转因子矩阵常见的问题：
虽然已经提取出了因子，但变量与因子的关系仍然比较分散，因此解释起来并不直观。
（4）旋转后的因子矩阵
接下来，对因子进行 Varimax 旋转。旋转后的结果如下图所示。
旋转之后，变量在不同因子上的载荷分布变得更加集中：
- 数学、物理、化学在因子1上的载荷明显较高
- 语文、历史、政治在因子2上的载荷相对较高
- 外语、地理在两个因子上都有一定载荷
这样一来，两个因子的含义就变得更加清晰了。研究者很容易将：
- 因子1解释为“理科能力”
- 因子2解释为“文科能力”
这正是旋转的主要作用：
通过调整因子的方向，使变量在不同因子上的载荷更加集中，从而使结构更容易解释。
需要注意的是，旋转并没有改变数据本身，也没有增加新的信息。它只是改变了因子的方向，使原本已经存在的数据结构更加清晰地呈现出来。
（5）因子图（从图形上理解“旋转”）
SPSS 还给出了 因子图，如下图所示。
图中每一个点代表一个变量，它在横轴（因子1）和纵轴（因子2）上的位置，正好对应变量在两个因子上的载荷。
从图中可以看到：
- 数学、物理、化学集中在图的右侧
- 语文、历史、政治则更多分布在上方区域
这种分布结构说明，这些变量在两个因子上的关系已经比较清晰。
SPSS 还给出了 因子转换矩阵，如下图所示。
这个矩阵实际上描述的就是旋转时坐标轴变化的角度。可以把它理解为：
在保持数据不变的情况下，对因子的坐标轴进行了重新调整。
因此：
- 数据没有改变
- 因子数量没有改变
- 总解释方差也没有改变
改变的只是因子的方向。
小结
到这里，“降维分析系列”的几个核心问题也基本讨论完了：
主成分分析与因子分析的区别、因子数量如何确定，以及为什么需要旋转。
看起来步骤很多，但背后的核心问题其实始终只有一个：
我们是在用统计方法压缩信息，还是在解释变量之间的结构关系。