降维分析系列第6讲：因子到底取几个？特征值大于1 真的可靠吗？

统计

做因子分析时，几乎所有人都会卡在同一个问题上：

到底应该提取几个因子？

软件会给出一张特征值表，还会自动标出“特征值大于1”的因子。很多论文也习惯这样写：“根据特征值大于1的标准，提取3个公因子。”看起来规范、简洁，甚至有一种“这是标准答案”的感觉。

但问题是，这个标准真的可靠吗？还是说，它只是一个方便的默认规则？

01特征值 > 1 这个标准从哪里来？

“特征值大于1”并不是随意规定的，它有一个很直观的逻辑。

在使用相关矩阵进行因子分析时，每个原始变量的方差都被标准化为1。如果一共有10个变量，总方差就是10。一个因子的特征值表示它解释了多少“变量方差”。如果某个因子的特征值大于1，说明它解释的方差超过了一个单独变量的贡献。

换句话说，如果一个因子连一个变量的解释力都达不到，那么保留它似乎没有太大意义。

这个逻辑听起来很合理，也因此成为最常见的经验规则。但需要意识到，它只是一个基于“平均方差”的判断方式，并不是在检验因子是否真实存在，更不是在判断结构是否合理。它解决的只是一个非常粗略的问题：这个因子解释的方差是否“够多”。

问题恰恰出在这里。

特征值本身是样本相关结构的函数，它会随着变量数量、样本大小、变量间相关程度的变化而变化。如果增加或删除几个变量，特征值结构可能立刻发生改变；样本换一个群体，结果也可能不同。

在变量较多的情况下，前几个因子的特征值往往会自然偏大；变量较少时，特征值分布又会不同。也就是说，“大于1”这个门槛本身是相对于变量数量而言的，并不是一个绝对标准。

很多时候，按照特征值大于1的规则提取的因子数量，会显得偏多。结果就是：旋转之后结构混乱，变量在多个因子上都有载荷，解释起来很吃力。相反，有些数据结构本来比较清晰，但因为特征值略低于1，就被机械地剔除了。

因此，把“特征值>1”当成唯一标准，往往会让因子数量的判断变成一种机械操作，而不是结构判断。

很多研究者会说，那就看碎石图。

碎石图的思路，是观察特征值随因子序号变化的曲线，寻找由陡降转为平缓的“拐点”。理论上，拐点之前的因子包含了主要信息，之后的因子则贡献有限。

这种方法比单纯看数值更直观，也更符合“结构判断”的思路。但现实情况是，碎石图并不总是清晰。有的曲线下降平滑，没有明显拐点；有的存在两个转折点；有的则需要研究者“凭感觉”选择。

换句话说，碎石图并没有消除主观判断，只是把判断从一个数值规则，转移到了图形判断上。

因此，碎石图比特征值大于1更灵活，但同样不是绝对标准。

在心理测量和方法论研究中，更推荐使用 平行分析（Parallel Analysis）。

需要说明的是，这里的“平行分析（Parallel Analysis）”指的是因子分析中的一种方法，与经济学中常见的“平行趋势”（DID 双重差分）或有序模型中的“平行线假设（parallel lines）”并不是同一个概念。

平行分析的基本思路是：利用随机生成的数据计算特征值，并将其与真实数据的特征值进行比较。只有当真实特征值明显高于随机数据对应的特征值时，才认为该因子值得保留。换句话说，它是在判断某个因子解释的方差是否明显高于随机噪声。

相比“特征值大于1”的经验规则，这种方法有更明确的统计依据。不过在很多应用研究中，研究者往往不会做到这一步，而是结合多种信息进行判断，例如特征值、碎石图、旋转后的结构是否清晰，以及理论上是否具有合理解释。

因此，因子数量的确定通常并不是依靠某一个固定公式，而是一种综合判断的结果。

因子分析的目标，是解释变量之间的相关结构，而不是完成一个“数值达标”的任务。因子数量过多，结构会变得零散；因子数量过少，又可能把本来不同的维度压缩在一起。

因此，确定因子数量更像是一种结构决策，而不是一道可以算出标准答案的题目。特征值大于1可以作为参考，碎石图可以辅助判断，平行分析可以提供更严格的依据，但最终是否合理，仍然要回到结构是否清晰、解释是否连贯，以及理论上是否站得住脚。

真正需要回答的问题不是“是否大于1”，而是：

为什么保留这些因子，而不是更多或更少？

当你能够解释这个问题时，因子数量的选择才算是有依据的。

下一讲，我们讨论因子分析中的另一个关键问题：

为什么要旋转？旋转到底改变了什么？